Si empleamos la frmula anterior y descubrimos que el volumen del paraleleppedo determinado por los vectores a , b y c es nulo, entonces los vectores deben hallarse en el mismo plano, es decir son coplanares. Desarrollo: Usando la formula del producto escalar triple dada por determinante. Cerrar sugerencias Buscar Buscar. Saltar el carrusel. Carrusel anterior. Carrusel siguiente. Explora Audiolibros. Explora Revistas. Explora Podcasts Todos los podcasts. Dificultad Principiante Intermedio Avanzado.
Explora Documentos. Producto Punto y Producto Cruz. Compartir este documento Compartir o incrustar documentos Opciones para compartir Compartir en Facebook, abre una nueva ventana Facebook. Denunciar este documento. Marcar por contenido inapropiado. Descargar ahora. Carrusel anterior Carrusel siguiente. Buscar dentro del documento. Hctor Carreo G. Ejemplo Si los vectores a y b tiene longitudes 2 y 3, y el ngulo que forman entre ellos mide 30, encuentre a b. El vector 0 se considera perpendicular a todos los vectores.
Profesor Sr. Pgina: Documentos similares a producto punto y producto cruz. Malw Dark. Santiago Daza. Juan Mcfly Badillo.
Ana Karina Neftali Guzman. Angel Daniel Munguia Mendoza. Karla Gabriel. Ricardo F. Para tales vectores tenemos que u? Si u y v son vectores no nulos con u? Propiedades del producto punto Si u, v y w son tres vectores cualesquiera y c es un escalar, entonces 1. Carl Friedrich Gauss — 1. Esto lo demos- tramos en el siguiente ejemplo.
Estos cosenos se c. Los vectores unitarios se construyen a partir de los cosenos directores Demuestre que si v 5 ai 1 bj 1 ck es un vector 1.
Demuestre que CA y CB son or- togonales. Diagonales de un rombo Demuestre que las diagonales de un rom- x bo paralelogramo con lados de igual longitud son perpendiculares. Recta perpendicular a un vector Demuestre que el vector v 5 ai Los carpinteros aprovechan este hecho con fre- dada.
Recta paralela a un vector Demuestre que el vector v 5 ai 1 bj Luego trace la recta. Incluya a v en su dibujo como un vector que parte v del origen.
Obtenga los componentes horizontal y vertical de la velocidad del En los ejercicios 37 a 40, use el resultado del ejercicio 32 para obtener proyectil. Luego dibuje la Plano inclinado Suponga que una caja es arrastrada hacia arriba recta.
Incluya a v en su bosquejo como un vector que parte del origen. Obtenga la Desigualdad de Cauchy-Schwartz Puesto que u? Justifique su tenedor una distancia de 20 metros a lo largo de un muelle de carga respuesta. Copie los ejes y el vector que se representan en la siguiente figura.
Luego sombree los puntos x, y para los cuales xi 1 yj? Jus- Valero El viento que pasa sobre la vela de un bote ejerce una fuer- tifique su respuesta. Conteste en libras-ft. Vectores unitarios ortogonales Si u1 y u2 son vectores unitarios ortogonales y v 5 au1 1 bu2, obtenga v? Es o por vectores paralelos a las mismas. Justifique n1 su respuesta. Exprese F como una suma del vec- L1 L1 tor paralelo a v y un vector ortogonal a v. Su expresion viene dada por la expresion:. La dependencia de la orientacion, crea un pequeno problema cuando uno cambia de sistema de referencia, dado que un vector verdadero no debera cambiar de direccion al cambiar de orientacion, por ejemplo, bajo imagen espe- cular.
Esto explica la diferenciacion que se hace de los pseudovectores o vectores axiales procedentes de un producto vectorial , en los libros de texto. Propiedades interesantes No es asociativo, sino que verifica la identidad de Jacobi:. La distributividad respecto de la suma, bilinealidad e identidad de Jacobi se dotan de la estructura de algebra de Lie. En especial, destaca tambien la famosa identidad de Lagrange:. Es evidente que como tales cantidades tienen n n1 2 componentes fsicas independientes en n-dimensiones, solo se puede representar a las rotaciones por pseudo vectores en el espacio tridimensional eucldeo ordinario, y es la razon de fondo por la que se hace as.
De hecho, en Fsica, la velocidad angular o el campo magnetico son tales vectores. Notacion tensorial y producto vectorial El producto vectorial puede escribirse en componentes usando el tensor de Levi-Civita de tres ndices.
Vectores axiales y quiralidad Cuando las cantidades medibles involucran productos vectoriales, la quirali- dad del sistema del coordenadas no puede ser arbitraria. Sin embargo, cuando las leyes fsicas se escriben como ecuaciones, debera ser posible elegir arbitra- riamente el sistema de coordenadas, incluyendo la orientacion en dicho sistema de referencia.
En particular, esto significa que hay que tener cuidado con las ecuaciones que tienen miembros que no se comportan igual frente a reflexiones en un espejo y no escribirlas hasta comprobar la naturaleza de los vectores involucrados.
El conjunto de relaciones que hay entre productores de pseudovec- tores o vectores axiales , P, y vectores, V, se puede resumir en las siguientes relaciones:. Solo sera un vec- tor puro, si al menos uno de los dos vectores es un pseudovector, el resultado sera otro pseudovector. Tras la introduccion de la no- tacion cruz para el producto vectorial por Gibbs, el libro Elements of Vector Analysis alcanzara mayores cotas de popularidad tras la publicacion por Wilson, un estudiante de Gibbs, de material de su mentor, Heaviside y Hamilton.
Ese material fue dividido en tres partes, segun el mismo Wilson:. La primera, concierne la adicion y los producto escalar y vectorial en- tre vectores. La segunda, concerniente al calculo diferencial e integral en relacion a funciones escalares y vectoriales.
La tercera, contiene la teora de funciones vectoriales lineales. Tambien se incluan diferentes tipos de productos triples y de mas de tres vectores, as como la expansion en terminos de determinantes y la identidad de Lagrange.
Aplicaciones del producto vectorial 3. Aplicaciones en Matematicas 3. Calculo de areas y volumenes El producto vectorial entre dos vectores define tiene como modulo un valor igual al area del paralelogramo generado por los mismos:. La forma general del teorema de Stokes que usa formas diferenciales es de mas alcance que los casos especiales, por supuesto, aunque los ultimos son mas accesibles y a menudo son considerados mas convenientes por fsicos e ingenieros. Otra forma mas comun de escribir el mismo teorema es la siguiente:.
Establece, por ende, que la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial sobre una superficie abierta es igual a la integral cerrada del campo vectorial a lo largo del contorno que limita la superficie, que en ocasiones se llama tambien circulacion. Sea M una variedad de dimension N diferenciable por trozos orientada com- pacta y sea una forma diferencial en M de grado n 1 y de clase C 1. El teorema debe ser considerado como generalizacion del teorema fundamental del calculo, y, de hecho, se prueba facilmente usando este teorema.
El teorema se utiliza a menudo en situaciones donde M es una subvariedad orientada sumergida en una variedad mas grande W en la cual la forma se define.
El teorema se extiende facilmente a las combinaciones lineales de las sub- variedades diferenciables por trozos, las as llamadas cadenas.
De hecho, toda forma diferencial puede descomponerse en suma de una diferencial cerrada, una exacta y una forma armonica Hodge. Esta es la base para la correspondencia entre los grupos de homologa y la denominada cohomologa de de Rham. Esto es muy conocido entre matematicos y cientficos de Europa del Este, donde ge- neralmente se prefiere simbolizar el producto vectorial entre dos vectores, a y b como [a, b] en vez de usar la cruz o el smbolo del producto exterior o escalon.
Metodo de Cayley-Dickson, semioctavas, octavas y Matrices de Zorn En Matematicas, las semioctavas en ingles split-octonions son una ex- tension no asociativa de los cuaternios o semicuaternios split-quaternions.
Difieren de las octavas u octoniones usuales en la signatura de la forma cuadrati- ca: las semioctavas tienen signatura 4,4 mientras que las octavas tienen 8,0. Es decir, las octavas son definidas positivas mientras las semioctavas no. Las se- mioctavas forman un algebra unica sobre los numeros reales y existen algebras analogas sobre un cuerpo arbitrario F.
Las octavas y semioctavas pueden ser definidas mediante el llamado proceso de doblado Cayley - Dickson, consistente en la defininicion de multiplicion de pares de cuaterniones. Si se toma como 1 obtenemos el algebra de las octavas. Tambien puede obtenerse ambas algebras mediante el proceso de Cayley-Dickson sobre los semicuaternios, en vez de los hacerlo sobre los cuaternios. Toda semioctava X puede escribirse como una combinacionn lineal de elementos de la base anterior:.
Por linealidad, las semioctavas que- dan totalmente determinadas por la tabla de multiplicacion siguiente:. Esta norma es la norma estandar pseudoeucldea sobre R4,4. Debido a este caracter, hay elementos X no nulos, llamados isotropos, que anulan la norma y no sera, a diferencia de las octavas, un algebra con division.
Son normadas, y satisfacen la relacion multiplicativa en sus norm, esto es, si. A esto tambien se llama algebra de composicion. Las semioctavas tambien sa- tisfacen las identidades de Moufang y son, como las octavas, un algebra alterna- tiva. Entoncs, por el teorema de Artin, cualquier subalgebra generada por dos elementos diferentes cualequiera es asociativa. El conjunto de elementos inverti- bles para los cuales la norma es no nula forma un bucle de Moufang Moufang loop.
Como las semioctavas son no asociativas, no pueden ser representadas por matrices ordinarias. Sin embargo, Max August Zorn hallo una manera de repre- sentarlas como matrices, usando una version modificada de la multiplicacion matricial.
Con la adicion y multipli- cacion escalar usuales, el conjunto de tales matrices forma un algebra unitaria 8-dimensional no asociativa sobre los numero reales, llamada algebra de Zorn.
El algebra de Zorn es de hecho isomorfa al algebra de las semioctavas. Otras utilidades matematicas Para terminar esta seccion, simplemente mencionar que la existencia del algebra de las octavas esta estrechamente unido a que las esferas S 0 , S 1 , S 3 , S 7 son paralelizables, en terminos matematicos son una fibra, y admiten lo que se llaman una fibracion de Hopf. Esto tiene consecuencias aritmeticas, como el teorema de los 2, 4 y 8 cuadrados, o tambien sorprendentes aplicaciones en Topologa y Teora de Grafos.
De hecho, L. Kauffman ha probado que el teorema de los 4 colores es equivalente a un problema algebraico de asociar en multipletes no ambiguos n-uplas de productos vectoriales tridimensionales. Aplicaciones en la Fsica 3. Momento angular y torque El momento angular o cinetico es una magnitud importante en todas las teoras fsicas, desde la Fsica Clasica hasta la Fsica Cuantica, pasando por la teora especial de la relatividad y la Mecanica Relativista.
Su importancia en todas ellas se debe a que esta relacionada con las simetras rotacionales de los sistemas fsicos. Bajo ciertas condiciones de simetra rotacional de los sistemas.
En ausencia de momentos de fuerza externo, tambien denominado torque, el momento angular de un conjunto de partculas, de objetos o de cuerpos rgidos se conserva. Esto es valido tanto para partculas subatomicas como para galaxias. La definicion matematica para el espacio tridimensional de momento angular y de torque o momento de una fuerza usa el producto vectorial:. Vector de Laplace-Runge-Lenz En Mecanica Clasica, el vector de Laplace-Runge-Lenz LRL , tambien lla- mado por los astronomos y astrofsicos vector excentricidad, es un vector espacial usado para describir la forma y orientacion de la orbita celeste de un cuerpo gi- rando en torno a otro mediante la ley de gravitacion newtoniana.
En particular, el vector LRL es una constante del movimiento para el problema de Kepler de una ley de fuerzas del inverso del cuadrado de la distancia, como por ejemplo la gravitacion de Newton o el potencial de Coulomb. Debe su nombre a los tres autores que mas lo usaron, puesto que es un vector que ha sido redescubierto en varias ocasiones a lo largo del tiempo.
El vector LRL puede definirse para potenciales arbitrarios, pero solo es constante para la ley de fuerzas central del inverso del cuadrado. L es el momeno angular. Sistemas de referencia no inerciales Sean dos sistemas de referencia, uno inercial S, y otro no inercial S dotado de aceleracion respecto del inercial. Redes de Bravais En Cristalografa, la red inversa o recproca de una red directa de Bravais es el conjunto de todos los vectores de la red K que verifican la relacion:.
La red recproca es una red de Bravais y la recproca de la recproca es la red original de partida. Curiosamente esta ultima expresion historicamente se encontro antes que la anterior, a pesar de ser una consecuencia directa de la anterior.
Por otra parte, el vector de Poynting es un vector cuyo modulo representa la intensidad instantanea de energa electromagnetica y cuya direccion y sentido son los de propagacion de la onda electromagnetica. De una manera general el vector de Poynting puede definirse como el producto vectorial del campo electrico y la intensidad del campo magnetico.
Recibe su nombre del fsico ingles John Henry Poynting y se expresa mediante el smbolo S. Dado que los campos electrico y magnetico de una onda electromagnetica oscilan con la frecuencia de la onda, la magnitud del vector de Poynting cambia en el tiempo.
El promedio del vector de Poynting sobre un periodo de tiempo muy. Ley de Biot-Savart La ley de Biot-Savart proporciona el campo magnetico creado por corrientes estacionarias. Ecuaciones de Maxwell En medios no-dispersivos e isotropos las ecuaciones de Maxwell del electro- magnetismo se reducen a:. Rotacional y vorticidad El rotacional, denotado por rot o curl en pases anglosajones, de circu- lation , de un campo de vectores nos informa sobre la rotacion del campo en cualquier punto.
El modulo nos dice cuanta rotacion hay, la regla de la mano derecha, ademas, nos indicara la direccion de rotacion y su sentido. Solamente en lugares especiales, tales como la frontera del medio o el nucleo de un vortice, es distinta de cero. Generalizaciones 4. Este frase es de hecho un teorema, se debe a un artculo de Hurwitz de [21].
Fue posteriormente generalizado en muchas direcciones, especialmente en algebras sobre otros cuerpos mas complejos. Otra version apaerece en un artculo de de Zorn [23], mas conocido quizas por el conocido lema de teora de conjuntos.
Un buen libro donde consultar aspectos mas matematicos es [22]. Una observacion importante es que no queremos decir que R, C, H, y O son las unicas algebras con division. Esto no es cierto. Existen algebras con division que no tienen inversos multiplicativos de algunos elementos, pero puede aun dividirse en las mismas. Sin embargo, lo que es mas importante es percatarse de que cualquier algebra con division tiene dimension 1, 2, 4 u 8. Podemos construir el algebra de los octoniones u octavas, de forma analoga a como hicimos previamente con las semioctavas.
Las octavas son el algebra octodimensional generado por la base 1, e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , y su tabla de multiplicacion esta dada por e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e1 1 e4 e7 e2 e6 e5 e3 e2 e4 1 e5 e1 e3 e7 e6 e3 e7 e5 1 e6 e2 e4 e1 e4 e2 e1 e6 1 e7 e3 e5 e5 e6 e3 e2 e7 1 e1 e4 e6 e5 e7 e4 e3 e1 1 e2 e7 e3 e6 e1 e5 e4 e2 1 Normalmente se usan otros metodos, pictoricos como el diagrama de Fano,.
No obstante, ya daremos despues una ecua- cion compacta para recordar esta tabla en la seccion de algebras de Clifford. Una cuestion natural consiste en saber si es posible una generalizacion multidimensional del producto vectorial.
Aqu seguiremos la referencia [20]. Esta aparentemente simple pregun- ta tiene una respuesta inesperada, no ampliamente conocida por la comunidad de fsicos: la generalizacion mas parecida posible al producto vectorial solo existen en un espacio heptadimensional[10].
Para la Fsica contemporanea, el producto vectorial heptadimensional repre- senta no solo un ejemplo de interes academico, sino que demuestra, entre otras cosas, que su utilidad por ejemplo al considerar campos de Yang-Mills depen- dientes solo del tiempo, va ecuaciones de Nahm, y que aparecen en el contexto de la denominada teora M[12, 13].
Que propiedades queremos que satisfaga el producto vectorial bilineal mul- tidimensional en Rn? Notese que la colocacion de los corchetes en miembre izquierdo es de hecho irre- levante por causa de la anticonmutatividad. La ecuacion 29 implica que este producto es alternado en sus argumentos. Sorprendentemente, no tenemos muchas alternativas para n incluso en el caso en que la validez de 30 no es necesaria.
De hecho, la dimension espacial n debera satisfacer [11] vease tambien [16]. El miembro izquierdo se calcula facilmente por medio de?? Ahora, juntando?? Como vemos, la dimension espacial debe igualar al numero magico siete si queremos una generalizacion unica del producto vectorial tridimensional.
Solo hemos mostrado que el producto vectorial puede existir en principio. Que ocurre con su realizacion concreta? Para responder a esta pregunta, es util darse cuenta que los productos vectoriales estan relacionados estrechamente con las algebras de composicion y normadas [10] de hecho, las dos nociones son equivalentes [11]. Entonces, desde el punto de vista de un algebra normada, el producto vectorial es de hecho el conmutador o corchete de Lie si se prefiere un lenguaje en terminos de teora de grupos dividido por dos.
Y, segun vimos, el teorema de Hurwitz [17] dice que las unicas algebras normadas son los numeros reales, los numeros complejos, los cuaternios y los octoniones u octavas.
Los primeros dos de ellos producen el producto vectorial trivial, uno identicamente cero, otro una mera rotacion o multiplicacion por la unidad imaginaria pura. Los cuaternios producen el producto vectorial tridimensional. El producto heptadimensional esta generado por los octoniones u octavas [18].
Es interesante observar que este producto heptadimensional es covariante respecto al mas pequeno grupo excepcional de Lie, denominado G2 [19], que es ademas el grupo de automorfismos de las octavas. Usando la tabla. De hecho gijmn es un totalmente antisimetrico G2 -tensor invariante.
Por ejemplo. Las unicas componentes no nulas independientes resultan ser entonces. En sntesis, la generalizacion del producto vectorial es solo posible en espacios heptadimensionales y esta vinculado al algebra de las octavas u octoniones, que es el algebra normada mas grande que se puede tener, hecho a su vez relacionado con muchas estructuras excepcionales en Matematicas [19].
En un caso genera de p-esimos productos vectoriales, otras alternativas pueden considerarse, como en este trabajo y [10, 14, 20]. Producto exterior y Algebra de Grassmann 4. Algebra de Grassmann para principiantes En esta seccion, seguiremos la referencia [4] y expondremos de una forma accesible los axiomas de un algebra de Grassmann.
En su obra mas importante sobre La Teora de la Extension Lineal, Grassmann introduce los siguientes axiomas geometricos abstractos:. Si un segmento se desplaza en el plano sobre un numero arbitrario de segmentos, la superficie total que se obtiene es gual al espacio obtenido cuando se desplaza ese segmento por la suma de los segmentos. Si en el plano un segmento se mueve entre dos paralelas fijas de modo que se mueve de una a otra, la superficie total barrrida es la misma cualquiera que sea el camino recorrido.
La superficie que describe una lnea quebrada es igual a la descrita por un segmento que tiene los mismos puntos inicial y final que ella. La superficie total que describe una superficie cerrada al moverse en el plano es nula. Esto llevo a Grassmann a definir el primer operando, p. A, como segmento del primer escalon o cuna dimension uno , a A B como un elemento del segundo escalon dimension dos , a A B C como un elemento del tercer escalon dimension tres , y as sucesivamente.
Si B1 y B2 son elemenos de la misma especie, se tienen las reglas:. Si Ay B son dos vectores que no son de la misma especie, se tiene por los axiomas anteriores que:. Para Grassmann, el ejemplo de no conmutatividad mas simple, vinculado por dualidad al producto vectorial es el producto orientado. En Matematicas, el producto cuna o escalon, tambien conocido como pro- ducto exterior, es una anti-simetrizacion del producto tensorial. El producto ex- terior es una multiplicacion asociativa y distributiva de funciones multilineales anti-simetricas que es anti-conmutativo para las funciones con el numero impar de variables y conmutativo de otra manera.
La teora sistematica empieza en la construccion de la potencia exterior para un espacio vectorial. El metodo es construir las estructuras algebraicas utilizando generadores y relaciones y no es manifiestamente independiente de una base. Grassmann utilizo solamente las algebras reales, es decir las algebras en que los escalares son los numeros reales el no hizo ninguna distincion entre los numeros reales y las funciones a valores reales, lo que sin embargo cambia la teora algebraica drasticamente.
El producto exterior sobre elementos de la base se realiza formalmente mediante las reglas de calculo siguientes:. Notese que el producto toma valores en un nuevo espacio V V que sea un espacio factor del V V. El producto es asociativo por definicion y alternan- te, es decir se anula si dos ndices son iguales. Un calculo combinatorio breve demuestra que se obtienen de n vectores de base 2n productos linealmente in- dependientes.
Se construye el espacio V vectorial subyacente a un algebra de Grassmann de la manera siguiente. El producto exterior se extiende al espacio entero V por bilinealidad. El algebra de Grassmann es un algebra graduada. Definimos el grado de los escalares como cero y el grado de los vectores de ba- se como 1. El grado de un producto diferente a cero de generadores cuenta el numero de generadores. El espacio de un algebra de Grassmann se puede por lo tanto descomponer en una suma directa de subespacios homogeneos de gra- do definido, es decir el espacio expandido por todos los productos que tienen exactamente k generadores:.
La definicion de un operador multilineal antisimetrico es un operador : V n V tal que si hay una dependencia lineal entre sus argumentos, el resul- tado es 0. Observe que la adicion de dos operadores antisimetricos, o la multipli- cacion de uno por un escalar, sigue siendo antisimetrica. Una forma de definir el espacio de Grassmann constructivamente es dividiendo el espacio tensorial por el subespacio generado por todos los tensores de los n-uplas que son linealmente dependientes.
En particular, ese significa que modulo una cons- tante, hay un unico funcional antisimetrico la dimension del espacio. Tambien observe que cada funcional lineal es antisimetrico. Puesto que resulta que esta ope- racion es asociativa, podemos tambien definir la potencia de un funcional lineal antisimetrico. Esta definicion dice que los generadores son cantidades anti-conmutativas y debe ser modificada en caso de que K tenga caracterstica 2. El algebra exterior tiene notables aplicaciones en Geometra diferencial, don- de suele ser usada para definir formas diferenciales, que no son otra cosa que las aplicaciones multilineales duales a los espacios exteriores correspondientes.
Se define as un producto exterior natural para formas diferenciales. Como curiosidad, en teora de representaciones, el algebra exterior es uno de los dos functores fundamentales de Schur en la categora de espacios vectoriales, siendo el otro el algebra simetrica. Estos dos objetos, juntos, sirven para generar las representaciones irreducibles del grupo general lineal. Forma de volumen y dual de Hodge El operador estrella de Hodge Hodge star operator es una aplicacion li- neal introducida popularmente por W.
Se define sobre el algebra exterior de un espacio con producto interior y una orientacion en dimension finita. Ademas, establece una correspondencia entre el espacio de k-vectores y el espacio de n-k -vectores. La imagen del k-vector bajo este isomorfismo se denomina dual de Hodge.
Dos espacios con la misma dimension son siempre isomorfos, pero no necesariamente en una manera canonica o estandar. La dualidad de Hodge, sin embargo, toma ventaja del producto interior o esca- lar y de la orientacion del espacio para inducir la correspondencia unvoca mas natural. La definicion de operador de Hodge esta determinada esta determinada tambien por su actuacion sobre una base.
Sea una base orientada ortonormal e1 , e2 , Para ello se usa el tensor totalmente antisimetrico o smbolo de Levi-Civita, para escribir 1 j1 , Escrito de esta forma, es evidente que el espacio vectorial debe tener un producto interior o escalar. Es necesario que exista para poder subir y bajar los ndices del tensor contrado. Usar el producto interior g, la metrica, es equivalente, pero no totalmente obvio,. Aunque uno puede tomar el operador de Hodge a cualquier tensor, el resultado es antisimetrico siempre, ya que las componentes simetricas del tensor se anularan cuando que- den contradas por el smbolo.
Un ejemplo comun es el caso del espacio tridi- mensional. Ah, el dual de Hodge de las 2-formas basicas son 1-formas, que es lo que esta implcito en la asociacion de un vector a un bivector.
Explcitamente, se tiene que:? Es una involucion y se separa en una parte autodual y una antiautodual. As, el dual de Hodge induce, en general, un producto escalar sobre los k-vectores, el algebra exterior o de Grassmann del espacio vectorial V que consideremos.
La forma de volumen sobre el espacio verifica la condicion. En esencia, los productos exteriores de elementos de una base ortogonal forman una base ortogonal del algebra exterior. Y, tambien, uno puede fabricar una forma de volumen de dimension n, tomando el determinante formal de n1 vectores con una base ortogonal de V , que sera la generalizacion multilineal del producto vectorial.
Algebras de Clifford Algebra geometrica Las algebras de Clifford [24, 8, 19] son un tipo especial de algebra asociativa. Son otra manera alternativa de generalizar los numeros complejos y cuaternios, y por ende, el producto vectorial. Estan relacionadas con la teora de formas cuadraticas y transformaciones ortogonales y sus aplicaciones exceden las que aqu pueden nombrarse, tanto en Matematicas, como en Fsica.
En concreto, un algebra de Clifford se define en la actualidad como un algebra asociativa generada por un espacio vectorial V equipado con una forma cuadratica Q. Formalmente, se define tambien:. Si la dimension de V es n, y ei es una base de V , entonces el conjunto. Las bases ortogonales son un conjunto privilegiado para V , ya que en sus terminos puede escribirse. Sean 1, e1 , e2 , Definamos el producto en terminos de la base como el algebra de Clifford dado por las relaciones siguientes:.
En este mismo for- malismo, hay otra diferencia. A saber, mientras que en el espacio tridimensional el producto vectorial es unico, salvo orientacion, en el espacio heptadimensional el producto vectorial depende de un trivector o volumen. Mas abstractamen- te, el producto vectorial tridimensional es invariante bajo todas las rotaciones del grupo SO 3 , mientras que el producto vectorial heptadimensioanl no es invariante bajo todo el grupo SO 7 , sino solo bajo el grupo excepcional G2 , un subgrupo de SO 7.
Los bivectores en 7 dimensiones generan una variedad de dimension 11, mientras que la imagen es un elemento de dimension 7.
Por tanto, no hay una relacion uno a uno entre la asociacion de producto vectorial y matrices antisimetricas de orden 7, sino es solamente una forma de asociar un vector a un bivector. Pedagoga y Didactica En esta seccion, vamos a analizar y criticar las diferentes tecnicas conocidas para el calculo del producto vectorial.
Esto es especialmente util e importante para profesores de la E. La regla del tornillo y del sacacorchos Esta es la regla comunmente usada en los libros de texto para la obtencion de la direccion y sentido de producto vectorial. Se han llenado multiples libros con el famoso eslogan siguiente:. La direccion y sentido del producto vectorial son las de un tornillo o sacacorchos, que gira del primer vector al segundo por el camino mas corto.
En nuestra opinion, aunque se cuente este truco, no es demasiado conve- niente por varios motivos:. No siempre hay tornillos y sacacorchos en clase.
Y aunque puedan ser sus- tituidos por bolgrafos o elementos analogos, se puede generar confusion. Se enfatiza el aspecto mecanico o manual de la operacion. Si bien puede ser util para aquellos alumnos que necesiten apoyo psicomotor y visuali- zacion en tres dimensiones, no siempre encontraremos alumnos y alumnas originales para sustituir correctamente dichos elementos. En Fsica y Ma- tematicas, en principio, queremos potenciar las capacidades cognitivas, no tanto las psicomotoras.
La regla de la mano derecha Segun esta norma, la direccion y sentido del producto vectorial se obtienen con el pulgar de la mano derecha, orientando correctamente los dedos ndice y corazon de forma que recaigan correctamente en los vectores operando. Esta regla, archiconocida tambien en todos los manuales de Fsica y Qumica, y en algunos textos de Matematicas, tambien presenta una serie de de dificul- tades conocidas por todos los profesores: El que un alumno o alumna sea zurdo o diestro, puede dificultar su apli- cacion practica.
Para los zurdos, es natural pensar en la derecha como su mano izquierda. En los ambidiestros puede aparecer tambien alguna problematica. Al igual que en el truco anterior, se enfatiza demasiado las capacidades psicomotoras, lo cual puede representar problemas para personas con poca destreza manual.
En Fsica, se puede confundir con la regla de la mano izquierda, lo que amplia las posibilidades de confusion manual, incluso cuando los conceptos pueden estar totalmente claros. La tecnica e intuicion algebraicas En nuestra opinion, si se quiere ensenar bien el producto vectorial, mas alla de que en ciertos momentos puedan o deban contarse las reglas anteriores, debe preconizarse la tecnica algebraica definida por Por que?
En primer lugar, porque la misma esencia natural del producto vectorial es de germen algebraico. En segundo lugar, y eso es poco destacado ni siquiera como nota en los libros de texto, porque si se tienen las componentes de los vectores que se multiplican, el sentido y direccion del producto vectorial vienen dados au- tomaticamente por el resultado del determinante formal dado por la expansion por adjuntos o la regla de Sarrus.
Es mas importante ensenar como se pueden visualizar sus compenentes una vez efectuadas las operaciones aritmeticas basi- cas, que todo el mundo conoce y maneja con cierta habilidad sumar, restar, multiplicar y dividir que pedir a los alumnos que lo perciban en terminos ma- nuales. Habra alumnos que prefieran y apliquen tecnicas no-algebraicas, pero es necesario vigilar que lo hagan correctamente.
En cambio, usando el determinan- te, se puede controlar mejor que dominan el concepto algebraico y matematico. No obstante, no negamos la utilidad de los recursos anteriores, pero la intuicion geometrica y visual en tres dimensiones, o la destreza manual, no nos parece en pie de igualdad a la capacidad de realizar operaciones basicas y dibujar las tres componentes obtenidas en relacion a las originales.
Quizas, la unica dificultad de este metodo es recordar el signo del segundo adjunto, que puede producir errores en los alumnos menos avezados algebrai- camente.
En este caso, se puede contar el truco de yuxtaponer al determinante a su derecha las dos primeras columnas, y usar el metodo convecional para ob- tener el producto correcto: tres primeras diagonales principales de izquierda a derecha y arriba abajo tienen signo positivo, las otras tres diagonales princi- pales de abajo hacia arriba tambien hacia la derecha negativas.
Problemas comunes de tipo didactico y recursos pe- dagogicos Es bastante comun en la didactica del producto vectorial, que se pregunte acerca de la no conmutatividad del producto vectorial. No es facil una respuesta simple, segun hemos visto en el presente trabajo. De hecho, el producto vec- torial, junto a la multiplicacion de matrices, es el primer caso de operacion no conmutativa que aprenden los estudiantes. Y es complicado para algunos com- prender que la ley conmutativa no se cumple siempre.
Para ilustrar que tipo de objetos tienen tales propiedades, se pueden citar los ejemplos siguientes:. El profesor coge un libro de texto u hoja a su disposicion. La gira primero noventa grados hacia la izquierda, y luego noventa grados hacia s mismo. Luego repite las operaciones anteriores en orden inverso: primero gira la hoja hacia s mismo, y luego rota la hoja hacia la izquierda, en ambos casos noventa grados.
Puede ilustrarse as un ejemplo de no conmutatividad. Para poner un ejemplo concreto de vectores axiales, puede tomarse la mis- ma hoja y se le pincha o anade un vector normal a su superficie puede ser un bolgrafo, una tiza,. En el caso de que las rotaciones anterio- res fuesen de un angulo muy pequeno, se insiste en el concepto de que dicho vector normal permanecera invariante ante tales transformaciones.
Ademas, hay otros conocidos recursos graficos para el producto vectorial. En particular, destacan dos reglas mnemotecnicas:. El diagrama cclico i j k. Si se pinta una circunferencia con tres vertices, orientada en una direccion fija, cuyos vertices sean los vectores base canonica del espacio eucldeo i,j,k, se pueden recuperar los productos vectoriales de los vectores base siguiendo el sentido.
El resultado tiene signo negativo solo si se va en contra de la orientacion prefijada en el dibujo. Usar, en conjuncion y apoyo de las reglas del tornillo y mano derecha, bolgrafos, lapiceros y otros elementos con pinta de vectores para no confundirse al aplicar dichas normas.
De acuerdo a las re- laciones basicas 19 , la primera componente X del producto vectorial intercalara el producto de las componentes Y y Z del primer y segundo vector, menos, el producto de las componentes Z e Y de los mismos. Las restantes dos componentes se obtienen sin mas que permutar cclica- mente las letras en la palabra magica.
As, las dos siguientes palabras. Este recurso puede ser especial- mente util para los estudiantes con inclinaciones Humansticas o mas de Letras que de Ciencia, y tambien, por otra parte, puede motivar por el interes de las palabras curiosas a los alumnos de Ciencias.
Finalmente, a los alumnos mas curiosos se les podra mostrar como el pro- ducto de dos cuaternios vectoriales reproduce tambien el producto vectorial correcto, mencionando y destacando igualmente a los mismos como se origino el concepto abstracto en su contexto historico. Conclusiones y discusion El producto vectorial posee, como hemos visto, una estructura matematica muy intrincada y excepcional.
No por ello deja de ser fascinante y sorprendente que aparezca de forma ubicua en numerosas partes. Tanto es as, que incluso si nadie hubiera sido capaz de concebirlo de forma abstracta, probablemente habramos acabado encontrandolo de forma totalmente experimental.
La com- plejidad de este producto en su forma tridimensional, son en buena parte resulta- do del oculto y profundo significado que tiene en la Geometra multidimensional.
Suele decirse, entre los fsicos, por poner un ejemplo, que el magnetismo es tan complicado que para su descripcion tridimensional necesitamos auxiliarnos del producto vectorial. Ello es as, en efecto. Pero no es menos cierto, que cuando ampliamos el numero de dimensiones, usando la teoria de la relatividad restrin- gida, se obtiene una simplificacion de las expresiones que involucran el producto vectorial.
Eso no significa que el problema sea mas sencillo de entender, nadie comprende aun del todo el electromagnetismo, pero a nivel de descripcion, es evidente la simplificacion del lenguaje matematico usando mas dimensiones. La generalizacion correcta del formalismo matematico del producto vectorial no es inmediata, dado que el triunfo historico correspondio a los fundadores del calculo tensorial y vectorial, muy posiblemente porque consideraran que el en- gendro o monstruo de un espacio con muchas dimensiones no tena soporte emprico.
Ademas, un ingeniero o tecnico no necesita la abstracion de espacios multidimensionales, sino metodos eficientes de calculo. Los vectores y tensores proporcionaron tal calculo, aunque en absoluto nos parece totalmente transpa- rente dichos utensilios. En cuanto a la Pedagoga y Didactica de esta operacion, tambien hemos proporcionado ideas, trucos y crticas de las metodologas conocidas. Es impor- tante conocerlas y usar los recursos mas apropiados para cada tipo de aula, destacando los aspectos que proporcionen un mayor rendimiento en cada grupo de alumnos.
Ensenar un concepto abstracto, visual, geometrico y en cierta forma difcil, entrana seleccionar los metodos que mas puedan motivar al alumnado en el momento de su explicacion. No renunciemos tampoco a mencionar algo de la Historia de las Matematicas involucrada en la operacion o del origen de los vectores si haciera falta para enganchar con los nuevos conceptos a nuestros discpulos.
Agradecemos al profesor Javier Peralta su disposicion favorable sobre la seleccion tematica de este trabajo, as como el haber llamado nuestra atencion sobre las referencias [4, 5], que resultaron sumamente utiles para la redaccion de este manuscrito. Cronologa algebraica Brahmagupta escribe Khandakhadyaka que resuelve las ecuaciones cuadraticas y permite la posibilidad de soluciones negativas.
La cuarta parte de este tratado contiene la llamada Regle des premiers, o regla de lo desconocido, que cuenta reglas manipulativas que hoy llamaramos Algebra.
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